Занимательные задачи математике.

Разложим грибы на две кучки: слева грибы Алика и Гены, а справа — грибы Бори и Вити. По условию, в левой кучке меньше грибов, чем в правой. Мысленно добавим в левую кучку грибы Алика и Бори, а в правую — грибы Вити и Гены. По условию, это равные количества, поэтому в левой кучке вновь будет меньше грибов, чем в правой. Если слева и справа забрать грибы Бори и Гены, то снова слева, где останется удвоенное количество грибов Алика, количество грибов будет меньше, чем справа, где останется удвоенное число грибов Вити. Отсюда следует, что у Вити грибов больше, чем у Алика. Если теперь вернуться к первоначально рассмотренным кучкам и положить налево грибы Вити и Гены, а направо — грибы Алика и Бори, то после того, как из каждой кучки мы заберем грибы Алика и Вити, в левой — меньшей кучке — будет лежать удвоенное число грибов Гены, а справа — удвоенное число грибов Бори. Отсюда следует, что Боря собрал грибов больше, чем Гена. Гена, по условию, собрал грибов больше, чем Витя, а Витя, как мы выяснили, собрал грибов больше, чем Алик.

Скрыть решение

Пусть поступило х ящиков яблок, у ящиков груш, u коробок вишен и v коробок слив. Из условий задачи получаем 48х = 20у и 14v= 10u. Сократив обе части первого уравнения на 4, получаем 12х = 5у. Так как х и у — целые числа, то х должен делиться на 5, поэтому х = 5р, тогда у = 12р. Во втором уравнении произведем сокращение на 2 и получим 7v = 5u, следовательно, и v делится на 5, т.е. v=5q, a u = 7q. Поскольку общий вес фруктов равен 1000 кг, то 48х + 20у + 14v+ 10u = 1000, или, с учетом сделанных выкладок, 720р + 140q= 1000. Единственным целым неотрицательным решением этого уравнения является р = 1, q = 2. Отсюда следует, что привезено 10 ящиков груш, 14 коробок вишен и 10 коробок слив.

Скрыть решение

Поскольку Леший шел по лесу со скоростью вдвое меньшей, чем по дороге, то он за двое суток (вторые и третьи) прошел столько же, сколько за первые, т.е. треть пути. Следовательно, за последние сутки он прошел также треть пути, составляющую 100 верст. Итак,Леший прошел 300 верст. Иван-царевич рассуждал так: «Если я пройду полпути на север, а потом поверну на восток, то еще через полсуток окажусь в Кащеевом царстве, пройдя 100 верст.

Скрыть решение

Пусть это число 10х+у, тогда 10х+у=nху, откуда у=10x/(nx-1) . Число n -1 взаимно простое с числом х, поэтому, чтобы число у было целым, число х - 1 должно быть делителем числа 10, т.е. равняться 1 или 2, или 5, или 10. Нетрудно убедиться, что первый случай невозможен, так как тогда у больше 9. Во втором случае мы имеем число 15, которое в 3 раза больше произведения своих цифр. В третьем случае имеем число 12, которое в 6 раз больше произведения своих цифр, число 24, которое в 3 раза больше произведения своих цифр, и число 36, которое в 2 раза больше произведения своих цифр. В третьем случае имеем лишь число 11, которое в 11 раз больше произведения своих цифр.

Скрыть решение

Имеется всего 6 двузначных чисел, являющихся полными квадратами: 16,25,36,49,64,81, но лишь одно из них — 16 — после перестановки цифр образует простое число — 61. Следовательно, номер телефона таков: 7-61-16.

Скрыть решение