Занимательные задачи математике.

Передвижка очень неочевидна — следует приподнять цифру 2, тогда получим 101 — 10^2 = 1.

Скрыть решение

Утверждение задачи основано на том, что число 1993 — простое. Если бы числа х и 1993 - х имели общий множитель, отличный от единицы, то его имела бы и их сумма, т.е. число 1993, а оно — простое.

Скрыть решение

Из условия следует, что Петя вернулся домой в начале следующего месяца, пробыв в пути 2 дня, но первого числа он вернуться не мог, так как номер вагона больше номера места. Значит, он вернулся 2 числа в вагоне N 2 на месте N1.

Скрыть решение

Пусть стрелка сдвинута на х кг, тогда портфели весят 3 + х кг и 2 + х кг, а вместе 6 + х кг. Приравняв суммы, получим, что х=1 кг, следовательно, портфели весили 4 и 3 кг.

Скрыть решение

Нетрудно понять, что каждый сыграл по 4 партии, а всего было 10 партий. Победитель набрал не более 3 очков, поскольку одну партию он проиграл, но не мог набрать меньше, так как тогда общее число очков не превосходило бы числа 2,5 + 2 + 1,5 + 1 + 0,5 = 7,5, что меньше 10. Значит, Рыбаков одну партию проиграл, а остальные выиграл. Выиграть у Щукина он не мог, так как Щукин не проиграл ни одной партии, значит он проиграл Щукину и выиграл у всех остальных.
Теперь заметим, что 3 + 2,5 + 1,5 + 1 = 10, поэтому Щукин набрал 2,5 очка, Окунев — 2, Ершов — 1,5, и Карасёв 1 очко. Теперь нетрудно установить, что остальные партии Щукин свел в ничью. Ершов, набрав 1,5 очка, проиграл Рыбакову и сделал ничью со Щукиным, в остальных двух партиях он набрал 1 очко. Если он сделал еще 2 ничьих, то он не выиграл ни одной партии, что противоречит высказыванию Карасева. Если он выиграл у Окунева, то тот, проиграв Рыбакову и Ершову и сделав ничью со Щукиным, не сможет набрать 2 очка. Значит, Ершов выиграл у Карасева и проиграл Окуневу. Окунев же сделал ничью с Карасевым.

Скрыть решение