Занимательные задачи математике.

Вместо многоточий следует поставить последовательно цифры: 2, 2, 8, 4, 3, 2, 2, 2, 3, 2.

Скрыть решение

В этой последовательности записаны представления числа 16 сначала в 16-ричной системе счисления, потом в 15-ричной, 14-ричной и т.д.

Скрыть решение

Возьмем произвольного участника А. Если A знаком со всеми остальными 99 школьниками, то утверждение доказано. Будем поэтому считать, что А не знаком с некоторым участником Б. Рассмотрим некоторого школьника С. Если С знаком со всеми участниками кружка, то утверждение доказано. Поэтому будем считать, что С не знаком с некоторым участником кружка. Пусть С не знаком со школьником D. Тогда среди четырех участников А, Б, С и D кружка ни один не знаком со всеми остальными тремя. Получили противоречие. Если же С не знаком с одним из школьников А или Б, для определенности с А, то из доказанного выше следует, что С знаком со всеми остальными участниками кружка и любые двое из школьников, исключая А и Б, знакомы друг с другом. Возьмем школьника О. В четверке Л, Б, С и D один знаком с остальными тремя, но А, В и С таким свойством не обладают, значит, это школьник D. Поскольку таких школьников 97, то значит, что всегда найдутся 97 школьников, знакомых со всеми остальными. С другой стороны ясно, что таких школьников может быть 97. Итак, наименьшее количество школьников, знакомых со всеми остальными, равно 97.

Скрыть решение

Выигрывает начинающий. Опишем его стратегию. Пронумеруем поля доски слева направо. Первым ходом начинающий передвигает одну из фишек на поле 1, причем, если n четно, то он передвигает фишку, стоящую на поле n, а если нечетно, то фишку, стоящую на поле с номером n - 2. Опишем полученную позицию: одна фишка стоит на поле 1, остальные рядом, причем левая — на поле с четным номером. Осталось заметить, что такую позицию нельзя получить из подобной ей, а из любой другой можно, при условии, что одна фишка стоит на поле 1. Позиция, из которой невозможно сделать ход, также принадлежит к описанному классу позиций, поэтому начинающий сможет привести игру к такой позиции, придерживаясь указанного правила.

Скрыть решение

Пусть в первый день картошка стоила х рублей за 1 кг, молоко — у руб. за 1 л и яйца — z рублей десяток. Тогда вся покупка в первый день стоила х + у + z руб., во второй день 3x+4y+5z=60 руб., а в третий день 6х + 5у + 4z = 66 руб. Сложив полученные уравнения, получим 9 (x+y+z) = 126 рублей, откуда х+у+z= 14 рублей.

Скрыть решение