Занимательные задачи математике.

Каждое следующее число последовательности описывает состав предыдущего, а именно, 2-е число указывает, что 1 -е число состоит из одной единицы, 3-е число говорит о том, что 2-е состоит из двух единиц, а 4-е — о том, что 3-е число состоит из одной единицы и одной двойки, и т.д.

Скрыть решение

Отметим показания часов через каждый час после полуночи: 0 ч 00 мин, 1 ч 00 мин, 1 ч 05 мин, 2 ч 05 мин, 2 ч 10 мин и т.д. Таким образом, начало нечетного часа 2к - 1 будет показано, как (к -1)ч 5(к -1)мин. а начало четного часа 2к будет показано как к часов 5(k -1) мин. Через 24 ч обе стрелки совпадут на цифре 12. Первый час часы показывают верное время, затем каждый нечетный час они идут с правильными скоростями стрелок из неправильного положения и поэтому не могут показывать верное время. Рассмотрим положения стрелок во время четного часа. Через х мин часовая стрелка будет показывать к + х/5, а минутная — 5(к -1) + х/12. На «нормальных» часах в это время часовая стрелка будет показывать 2к -1 + х/60, а минутная х минут. Если «сумасшедшие» часы показывают верное время, то к + х/5 = =2к-1 + х/60 и 5(k -1) +х/12 = х. Как это ни странно, но оба уравнения дают одно и то же решение: х = 60(k - 1 )/11. Таким образом, «сумасшедшие» часы показывают верное время в течение часа с 0 ч 00 мин и еще в 10 моментов времени: 3 ч 60/11 мин, 5 ч 120/11 мин.......... 21 ч/600/11 мин.

Скрыть решение

Сначала нужно показать, что числа действительно можно расположить указанным образом (хотя бы одним способом), а затем заметить, что сумма цифр, стоящих в одинаковых разрядах наибольшего и наименьшего чисел, равна 10. Следовательно, искомое число равно 111 ... 110, здесь 162 единицы.

Скрыть решение

Пусть N — количество серий, показанных в 1988 г. Заметим, что в каждом году показывалось не более 730 серий, поэтому N?730. С другой стороны, количество серий, показанных в 1989 году, равно Na/5, где а равно 3 или 7, в 1990 г. Nab/25, в 1991 г. Nabc/125 и в 1992 г. Nabcd/625, причем числа Ь, с и d принимают значения 3 или 7. Значит, N делится на 625 и, поскольку оно меньше 730, то равно 625. Число а не может равняться 7, так как в этом случае в 1989 году было бы показано 875 серий, что больше 730. Значит, а = 3 и в 1989 г. было показано 375 серий. Число b не может равняться 3, так как тогда в 1990 г. было бы показано 225 серий, а всего за 3 года — 1225 серий, следовательно, в 1990 г. не могла бы быть показана 1230-я серия. Итак, b = 7 и в 1990 г. было показано 525 серий. Нетрудно подсчитать. что 1230-я серия была показана не раньше, чем на 115-й день, и не позже, чем на 218 день этого года. Число с не может равняться 7, так как в этом случае количество серий в 1991 г. превысит 730. Значит, с = 3 и в 1991 г. было показано 315 серий. Итак, в 1992 г. было показано либо 315-3/5=189, либо 315-7/5 = 441. Но вспомним, что последняя серия была показана ровно через год после 1230-й, т.е. не раньше, чем через 115 дней, и не позже, чем через 218 дней после начала года, а на показ 441 серии понадобится не меньше 221 дня, поэтому в 1992 г. было показано 189 серий, а всего 625 + 375 + 525 + 315 + 189 = 2029 серий.

Скрыть решение

Такое заполнение возможно, например, если раскрасить клетки в шахматном порядке, в белых клетках вписывать слева направо числа 1,2,3,... а в черных 1353,1352,1351,... Нетрудно убедиться, что при такой процедуре сумма 4-х чисел в каждом квадрате 2 • 2 будет равна 2709.

Скрыть решение