Занимательные задачи математике.

Выигрышная стратегия второй девочки такова: своим первым ходом она отрывает 1 или 2 лепестка, противоположных оторванным первой девочкой, так, чтобы лепестки ромашки разделились на две симметричные половины. При следующих ходах первой девочки вторая отрывает лепестки, симметричные оторванным первой.

Скрыть решение

Гавиал — разновидность крокодила, был выбран для того, чтобы отвлечь ваше внимание от бегемота. Дело в том, что бегемот — травоядное животное и рыбы не ест. Меньше всех съел гавиал, обозначим это число рыб через х. Если пеликан съел в к раз больше, т.е. кх рыб, то кашалот съел k^2x, а вместе х(1 + к+ k^2) = 37. Поскольку числа х и кх — целые, то их отношение — число к, должно быть рационально. Обозначим к = р/g, где p и q — взаимно простые числа, тогда выведенное уравнение перепишется в виде:
x/q^2*(p^2+pq+q^2)=37 Так как второй множитель больше единицы, а 37 — простое число, то х = q^2, а р^2 + pq + q^2 = 37, поскольку р больше q, то Зq^2 меньше 37, откуда q меньше 4, следовательно, нужно рассмотреть лишь 3 случая: q = 1, q = 2 и q = 3. Уравнения р^2 + р + 1 = 37, и р^2 + 2р + 4 = 37 не имеют целых корней, а уравнение р^2 + Зр + 9 = 37 своим положительным корнем имеет число 4. Таким образом к = 4/3, х = 9, кх= 12, к^2х = 16. Итак, гавиал съел 9 рыб, пеликан — 12 и кашалот — 16. а бегемот — 0 рыб.

Скрыть решение

Рассмотрим случай квадратного стола и круглых салфеток. Отметим на столе 5 точек: 4 угла и центр. Так как салфеток — 4, то хртя бы одна покрывает одновременно сразу 2 из этих точек. Из попарных расстояний между этими точками наименьшее — половина диагонали, соединяющей центр с одним из углов, поэтому диаметр круглой салфетки не меньше этого расстояния Квадратные салфетки, покрывающие круглый стол, покрывают и его край — окружность. Среди 4-х салфеток найдется такая, которая покрывает не меньше четверти этой окружности, но на этой дуге найдутся две точки, отстоящие не менее, чем на R*sqrt(2), где Я — радиус указанной окружности, а расстояние между точками салфетки не превосходит a*sqrt(2), где а — сторона квадратной салфетки, отсюда a больше R.

Скрыть решение

Пусть из отрезков АК и ВК более длинным будет отрезок АК. Продолжим его на величину ВК до точки С. В треугольнике ВСК сумма равных углов С и В равна углу К треугольника АВК, а значит, угол С равен половине угла К и при движении точки К по окружности. Угол К, а следовательно, и угол С сохраняются. Итак, точка С движется по окружности, проходящей через точки А и В, поэтому середина хорды АС — точка М, движется по окружности вдвое меньшего радиуса, проходящей через точку А и середину отрезка АВ. Остальные три куска «восьмерки», изображенной на рисунке, рассматриваются аналогично.

Скрыть решение

Пусть стороны треугольника имеют длины a, b и с, причем с — длина гипотенузы, тогда по теореме Пифагора b^2 = с^2 - а^2 = (с - а) (с + а). Если предположить, что оба числа а и с нечетны, то получим, что число b четно. Если числа а и с оба не делятся на 3, то их остатки при делении на 3 равны ±1. Если эти остатки равны, то на 3 делится первая скобка, а если разные, то вторая скобка делится на 3, в обоих случаях получаем, что число b делится на 3.

Скрыть решение